ポアソン分布-滅多に発生しないけど、長い目で見れば一定の頻度で起こる事象

ポアソン分布は、二項分布の「特殊な極限（究極形）」として位置づけられる分布です。

一言で言うと、「滅多に起こらないけれど、長い目で見れば一定の頻度で起こるレアな事象」の回数を予測するのに使われます。

🐟 ポアソン分布とは？

ポアソン分布は、「ある決まった期間（または面積・空間）の中で、平均して $\lambda$ 回起こる事象が、実際に k 回起こる確率」を表す確率分布です。

二項分布では「試行回数 n」と「確率 p」が必要でしたが、ポアソン分布で必要なのは「平均回数 $\lambda$（ラムダ）」ただ一つです。

📌 ポアソン分布が使われる典型例

ポアソン分布は、二項分布のパラメータを以下のように極端にしたものです。

例えば、「1秒ごとに（膨大な回数）、超低確率で電話が鳴るかどうか」を判定していると考えると、それは二項分布からポアソン分布へと近づいていきます。

二項分布では「5打席」という少ない回数でしたが、ポアソン分布を考えるために、視点を少し変えます。

ある野球チームは、過去のデータから「1試合あたり平均 1.2 本のホームランを打つ」ことがわかっています。

このチームが、「今日の試合でちょうど 3本ホームランを打つ確率」はどれくらいでしょうか？

ここでは、「何回打席に立つか (n)」や「1打席ごとのホームラン率 (p)」は気にしません。「平均 ($\lambda$)」だけを使います。

パラメータの設定
- 平均発生率 ($\lambda$): 1.2 （1試合あたりの平均ホームラン数）
- ターゲット回数 (k): 3 （知りたい回数）

平均発生率 $\lambda$ の事象が、ちょうど k 回起こる確率は以下の式で表されます。ネイピア数 $e （自然対数の底 \approx 2.718）$が登場するのが特徴です。

$$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$$

$$P(X=3) = \frac{e^{-1.2} \times (1.2)^3}{3!}$$

分子: $e^{-1.2} \approx 0.301、1.2^3 = 1.728\rightarrow 0.301 \times 1.728 \approx 0.520$
分母: $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
計算: $0.520 \div 6 \approx 0.0867$

つまり、平均1.2本のチームが、ある試合で「ちょうど3本」打つ確率は約 8.7% ということになります。

ポアソン分布の最も美しく、不思議な性質は、「平均と分散が等しい」ということです。

$$E[X] = \lambda$$

$$V[X] = \lambda$$

二項分布の分散は $V[X] = np(1-p)$ でした。

ポアソン分布は、確率 p が限りなく 0 に近い状態（超レア）を想定しています。

ベルヌーイ分布、二項分布、ポアソン分布の違いをまとめてみました。

二項分布の n を無限大に、 p を極小にしたものがポアソン分布です。「回数とか確率はよくわからないけど、平均するとこれくらい起きる」という現象には、ポアソン分布を使います