連続型確率変数

「連続型」とはどういうことか？

「離散型」の塁打数は「1塁打」の次が「2塁打」で、その間の「1.5塁打」はありませんでした。

しかし、ピッチャーが投げる「球速」はどうでしょうか？

「150km/h」と表示されていても、精密に測れば：

このように、いくらでも細かく（無限に）刻むことができる値を扱うのが「連続型確率変数」です。

アナログ時計の針の動きや、打球の飛距離（メートル）などがこれに当たります。

ここが連続型確率変数の最大の落とし穴であり、最も重要なポイントです。

離散型では「ホームラン（4塁打）の確率は4%」と言えましたが、連続型ではこれが通用しません。

Q. ピッチャーが「ちょうど 150.000…00 km/h」を投げる確率は？

A. 数学的には「0（ゼロ）」です。

「えっ、投げてるじゃん！」と思うかもしれません。しかし、無限に細かい世界の話なので、「150.0000001」でも「150」とは認められません。

無限にある数値の中から、ピンポイントで一点を狙い撃つ確率は、限りなくゼロに近いのです。

では、どうやって確率を表せばいいのでしょうか？

一点（点）がダメなら、範囲（幅）で考えればいいのです。

連続型確率変数では、「ある区間に入る確率」を計算します。これをグラフでイメージすることが非常に大切です。

離散型では「棒グラフ」を使いましたが、連続型では「滑らかな曲線（山の形）」を使います。

この曲線を確率密度関数（かくりつみつどかんすう、PDF）と呼びます。

あるピッチャーの球速分布をグラフにしてみましょう。

平均球速が145km/hのピッチャーなら、145のあたりが一番盛り上がっている「山」の形になります。

「150km/h以上のボールが来る確率」を知りたければ、グラフの 「150以上の部分の面積」 を塗りつぶします。その面積こそが確率です。

数学（積分）の記号を使うとこうなります。

$$P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$$

（難しければ、「グラフの $a$ から $b$ までの面積を計算する」という意味だと捉えてください）

この2つの違いを整理すると、統計学の視界が一気にクリアになります。