ベルヌーイ分布、二項分布、ポアソン分布と続いて、次は幾何分布（Geometric Distribution）です。
これまでの分布が「決められた回数の中で、何回成功するか」を考えていたのに対し、幾何分布は視点が逆転します。「成功するまで、何回失敗し続けるか（何回試行が必要か）」を考える分布です。
📉 幾何分布とは？
幾何分布は、成功確率 \(p\) のベルヌーイ試行を繰り返したとき、「初めて成功するまでに、何回の試行が必要か」を表す確率分布です。
「3回目でやっと成功した」「1回目でいきなり成功した」「10回やってもまだ成功しない」といった状況の確率を計算します。
📌 幾何分布が適用される条件
基本はベルヌーイ試行と同じですが、「終わりの条件」が異なります。
- 結果が2通り（成功か失敗か）
- 各試行が独立（前の失敗は次の確率に影響しない）
- 成功確率 (\(p\)) が一定
- 「初めて成功した時点」で終了する（試行回数 \(n\) は決まっていない）
🧢 野球の例: スランプのバッターがヒットを打つまで
今回は、「打率 .300 (\(p=0.3\)) のバッターが、何打席目で初ヒットを打つか」を考えます。
- 試行 (\(X\)): 初めてヒットが出るまでの打席数。\(X = 1, 2, 3, \dots\)
- 知りたいこと: 「ちょうど3打席目で初ヒットが出る確率は？」
3. 幾何分布の確率質量関数 (PMF)
「\(k\) 回目で初めて成功する」ということは、論理的に分解するとこうなります。
「\(k-1\) 回連続で失敗し、最後の \(k\) 回目で成功する」
これを数式にすると非常にシンプルです。
$$P(X=k) = (1-p)^{k-1} p$$
- \((1-p)^{k-1}\): \(k-1\) 回分の「失敗」の確率（失敗確率を \(k-1\) 回かける）。
- \(p\): 最後の1回の「成功」の確率。
⚾ 野球の例での計算 (\(p=0.3\))
① 1打席目でヒットが出る確率 (\(k=1\))
失敗は0回なので、いきなり成功確率そのままです。
$$P(X=1) = 0.3$$
（これが最も確率が高いです）
② 3打席目でようやくヒットが出る確率 (\(k=3\))
流れ：アウト(\(0.7\)) \(\to\) アウト(\(0.7\)) \(\to\) ヒット(\(0.3\))
$$P(X=3) = (0.7)^{3-1} \times 0.3$$
$$P(X=3) = 0.7 \times 0.7 \times 0.3 = 0.49 \times 0.3 = 0.147$$
約 14.7% です。
📐 幾何分布の平均（期待値）
幾何分布の平均（期待値）は、成功確率 \(p\) の逆数になります。
$$E[X] = \frac{1}{p}$$
📌 回数は確率の逆数。
「確率」の逆数が「回数」になります。
- サイコロで「1」が出る確率 (\(p=1/6\))
\(\rightarrow\) 平均して 6回 (\(6/1\)) 振れば1回出る。
- コインで表が出る確率 (\(p=1/2\))
\(\rightarrow\) 平均して 2回 (\(2/1\)) 投げれば1回出る。
⚾ 野球の例での解釈
打率 .300 (\(p=0.3\)) の場合：
$$E[X] = \frac{1}{0.3} \approx 3.33$$
「打率3割のバッターなら、平均して 3.33打席 立てば1本はヒットが出るだろう」ということです。
📉 幾何分布の分散
幾何分布の分散は以下の式で表されます。
$$V[X] = \frac{1-p}{p^2}$$
📌 成功確率 が小さいほど、分散（ばらつき）が爆発的に大きくなる
分母に \(p^2\) があることに注目してください。これは「成功確率 \(p\) が小さければ小さいほど、分散（ばらつき）が爆発的に大きくなる」ことを意味しています。
例1：簡単なこと (\(p=0.8\)) をやる場合
80%成功することなら、だいたい1回か2回で成功します。100回やっても成功しない」なんてことはまず起きません。だからばらつきは小さいです。
例2：超難しいこと (\(p=0.01\)) をやる場合
確率は1%。平均的には100回 (\(1/p\)) で成功するはずです。しかし、「運良く1回目で成功する」こともあれば、「運が悪くて500回ハマる」こともザラにあります。
成功確率が低いと、「いつ終わるか全く読めない」ため、ばらつきが非常に大きくなるのです。
まとめ：4つの分布の関係図
これで主要な4つの離散確率分布が出揃いました。
| 分布名 | 問いかけのタイプ | パラメータ | 野球の例 |
| ベルヌーイ分布 | 1回勝負の結果は？ | \(p\) | この1球、打てるか？ |
| 二項分布 | 固定回数での成功数は？ | \(n, p\) | 今日の5打席、何本ヒットか？ |
| 幾何分布 | 成功するまで何回かかる？ | \(p\) | 何打席目で初ヒットが出るか？ |
| ポアソン分布 | レアな事象の個数は？ | \(\lambda\) | 今日の試合、何本ホームランか？ |
幾何分布は、「成功というゴールにたどり着くまでの『道のりの長さ』の確率」と覚えると理解しやすいです。