バラバラのデータ（事象）を「要するにどういうこと？」と一言で要約するための3つの重要な指標、期待値・分散・標準偏差について説明します。
野球のスカウトになった気分で、「選手の評価」として捉えると非常にわかりやすくなります。
1. 期待値（Expected Value, \(E[X]\)）
～「結局、平均してどれくらい打つの？」～
期待値とは、「その試行を1回行ったとき、平均的にどれくらいの値が得られると期待できるか」という指標です。
一言で言えば「未来の平均点」です。
野球での例：長打力（塁打数の期待値）
あるバッターが打席に入ります。結果は毎回違いますが、「ならして」考えると、1打席あたり何塁打期待できるでしょうか？
【バッターAの確率分布】
- アウト（0塁打）：確率 0.7
- 単打（1塁打）：確率 0.2
- 本塁打（4塁打）：確率 0.1
【計算式】
$$(\text{値} \times \text{確率}) \text{ の合計}$$
$$E[X] = (0 \times 0.7) + (1 \times 0.2) + (4 \times 0.1)$$
$$E[X] = 0 + 0.2 + 0.4 = \mathbf{0.6}$$
意味：このバッターAは、1打席あたり「0.6塁打」進むことが期待できます。
（野球を知っている方なら、これは「長打率（Slugging Percentage）」の概念そのものであることに気づくでしょう！）
2. 分散（Variance, \(V[X]\)）
～「その選手、ムラっ気はある？」～
期待値（平均）だけでは見えないものがあります。それは「バラつき」です。
分散は、データが「期待値（平均）からどれくらい離れているか」を数値化したものです。
野球での例：イチロー型 vs 大谷型
以下の2人の選手は、期待値（平均）は同じ「0.6」だとします。
- 選手A（コツコツ型）： ほとんどが単打かアウト。大きな失敗もしないが、ホームランもない。
- 選手B（一発屋）： 三振（0）かホームラン（4）ばかり。
期待値は同じでも、選手としてのタイプは全然違いますよね。選手Bの方が、結果が平均（0.6）から大きく外れる（0だったり4だったりする）ことが多いです。
この「平均からのズレの2乗の平均」が分散です。
【なぜ2乗するのか？】単にズレを足すと、プラスとマイナスが打ち消し合ってゼロになってしまうからです（例：\(+2\) と \(-2\)）。だから、2乗してすべてプラスにしてから足し合わせます。
意味：
- 分散が小さい \(\rightarrow\) 結果が安定している（計算できる選手）
- 分散が大きい \(\rightarrow\) 結果が激しく変動する（ギャンブル性の高い選手）
3. 標準偏差（Standard Deviation, \(\sigma\)）
～「で、実際どれくらいズレるの？」～
分散には一つ弱点があります。計算途中で「2乗」してしまったため、単位がおかしくなっているのです。（塁打数の分散を計算すると、単位が「塁打の2乗」という意味不明なものになります）
そこで、分散のルート（\(\sqrt{}\)）をとって、単位を元に戻してあげます。これが標準偏差です。
$$\sigma = \sqrt{V[X]}$$
野球での例：ピッチャーのコントロール
あるピッチャーの直球の球速分布で考えます。
- 平均（期待値）： 150km/h
この時、標準偏差（\(\sigma\)）がどうなるかで、ピッチャーの評価が変わります。
- 投手X（精密機械）： \(\sigma = 1\) km/h
- ほとんどの球が \(150 \pm 1\) km/h（149～151km/h）に収まる。
- 計算しやすい、安定した投手。
- 投手Y（荒れ球）： \(\sigma = 5\) km/h
- 平気で \(150 \pm 5\) km/h（145～155km/h）の範囲でバラつく。
- 調子が良いときは凄いが、悪いときは遅い。的を絞りにくい。
グラフで見ると一目瞭然です。
- 標準偏差が小さい： 平均値の周りに高く尖った山（バラつきが少ない）
- 標準偏差が大きい： 裾野が広く、平べったい山（バラつきが大きい）
まとめ：3つの指標の関係
| 指標 | 記号 | 野球でのイメージ | 数学的な意味 |
| 期待値 | \(E[X]\) または \(\mu\) | 長打率、打率、防御率 （その選手の実力・平均値） | 分布の「重心」。 \(\sum x_i P(x_i)\) |
| 分散 | \(V[X]\) または \(\sigma^2\) | ムラっ気（の2乗） （計算上の途中経過） | 平均からのズレを2乗して平均したもの。 \(E[(X-\mu)^2]\) |
| 標準偏差 | \(\sigma\) (シグマ) | 計算できる範囲、リスク （実際のズレ幅） | 分散のルート。 データの散らばり具合を元の単位で表す。 |
投資やビジネスへの応用
この考え方は野球以外でも使えます。
- 期待値： この事業は平均していくら儲かるか？
- 標準偏差： その利益はどれくらいブレるリスクがあるか？
ハイリスク・ハイリターンな案件は「期待値は高いが、標準偏差もデカい」と表現できます。