1人の選手（1つの確率変数）の分析ができるようになったら、次は「チーム全体の分析」です。
野球は9人で戦うスポーツです。「1番打者（変数\(X\)）」と「2番打者（変数\(Y\)）」を組み合わせると、チームとしてどれくらいの得点力（和）になるのか？あるいは、エース（\(X\)）と相手エース（\(Y\)）の実力差（差）はどれくらいか？
このように、複数の確率変数を足したり引いたりした時のルール、「和と差」について説明します。
1. 同時分布（Joint Distribution）
1. 離散型同時確率分布（Joint Probability Distribution）
2つの変数（今回は「勝敗」と「場所」）が、同時に特定の組み合わせになる確率を表したものです。
ここでは、以下の2つの確率変数を定義します。
- \(X\) = 勝敗（勝、負、引）
- \(Y\) = 場所（ホーム、ビジター）
各セルの数値を全試合数（143）で割ることで、同時確率 \(P(X, Y)\) が求められます。
【計算式】例：ホームで勝つ確率 = \(44 \div 143 \approx 0.3077\) (30.8%)
【同時確率分布表】表の中の数値（％）が、それぞれの「同時確率」です。
| 勝敗 (X) | 場所 (Y) | ホーム | ビジター |
| 勝 (Win) | 30.8%(\(44/143\)) | 18.2%(\(26/143\)) |
| 負 (Loss) | 18.2%(\(26/143\)) | 30.0%(\(43/143\)) |
| 引 (Draw) | 0.7%(\(1/143\)) | 2.1%(\(3/143\)) |
- 解説: この表全体が「同時確率分布」です。「ホームであり、かつ勝つ確率は約30.8%である」といったように、2つの条件が重なる確率を示しています。これら6つの確率をすべて足すと \(100\%\) (\(1.0\)) になります。
2. 周辺確率分布（Marginal Probability Distribution）
同時確率分布の表から、片方の変数だけに注目して集計した確率分布のことです。
表の「端（マージン）」に合計を書き足すイメージです。
- 「場所」を無視して、「勝敗」だけの確率を知りたい場合
- 「勝敗」を無視して、「場所」だけの確率を知りたい場合
これらを計算するために、行ごと、または列ごとに確率を足し合わせます。
【周辺確率分布つきの表】
| 勝敗 | 場所 | ホーム | ビジター | 合計 (周辺確率) |
| 勝 | 30.8% | 18.2% | 49.0% |
| 負 | 18.2% | 30.0% | 48.2% |
| 引 | 0.7% | 2.1% | 2.8% |
| 合計 (周辺確率) | 49.7% | 50.3% | 100% |
- 解説:
- 右端の列（49.0%, 48.2%, 2.8%）が、「勝敗 (\(X\)) の周辺確率分布」です。「ホームかビジターかに関係なく、巨人が勝つ確率は49.0%」ということを示します。
- 下端の行（49.7%, 50.3%）が、「場所 (\(Y\)) の周辺確率分布」です。「勝敗に関係なく、試合がホームで行われる確率は49.7%」ということを示します（日程の偏りなどで完全な50%にならない場合）。
3. 周辺確率関数（Marginal Probability Function）
周辺確率分布を数式（関数）として表現したものです。基本的には「もう片方の変数の確率をすべて足し合わせる（和をとる）」という操作を行います。
数学的には以下のように書きます。
$$P_X(x) = \sum_{y} P(x, y)$$
これは、「\(X\)（勝敗）のある値 \(x\)（例：勝ち）における周辺確率は、\(Y\)（場所）のすべてのパターン（ホームとビジター）の同時確率を足したもの」という意味です。
【具体的な計算例】
① 勝敗 (\(X\)) の周辺確率関数
「勝つ」確率 \(P_X(\text{勝})\) を求める場合：
$$P_X(\text{勝}) = P(\text{勝}, \text{ホーム}) + P(\text{勝}, \text{ビジター})$$
$$P_X(\text{勝}) = 0.308 + 0.182 = 0.490$$
② 場所 (\(Y\)) の周辺確率関数
「ホーム」である確率 \(P_Y(\text{ホーム})\) を求める場合：
$$P_Y(\text{ホーム}) = P(\text{勝}, \text{ホーム}) + P(\text{負}, \text{ホーム}) + P(\text{引}, \text{ホーム})$$
$$P_Y(\text{ホーム}) = 0.308 + 0.182 + 0.007 = 0.497$$
まとめ
野球のデータで例えると、それぞれの違いは以下のようになります。
- 同時確率分布: 「ホームで」かつ「勝つ」確率は？（クロス集計の中身）
- 周辺確率分布: ホーム・ビジター関係なく、単純に「勝つ」確率は？（合計欄の分布）
- 周辺確率関数: 上記の合計確率を求めるための「足し算の数式」
このデータを見ると、ホームでの勝率が非常に高い一方で、ビジターでは負け越していることが、同時確率分布の偏りからはっきりと見て取れますね。
同時確率と条件付き確率の違い
- 同時確率：全体(143)の中で、「ホームかつ勝ち(44)」の割合（約30.8%）
- 条件付き確率：ホーム(71)の中で、「勝ち(44)」の割合（約62.0%）
条件付き確率を使うと、漠然とした全体データから「特定の状況下での強さ」や「傾向」をあぶり出すことができます。
2. 和と差の期待値
1. 和の期待値 \(E[X + Y]\)
～単純な足し算でOK！～
ルール 2つの確率変数 \(X\) と \(Y\) があるとき、その和の期待値は、それぞれの期待値を足したものになります。
$$E[X + Y] = E[X] + E[Y]$$
野球での例：チームの年間ホームラン数
- 変数 \(X\)： 4番バッターの年間ホームラン数（期待値 \(E[X] = 30\)本）
- 変数 \(Y\)： 5番バッターの年間ホームラン数（期待値 \(E[Y] = 20\)本）
Q. この「4番・5番コンビ」で、年間合計何本のホームランが期待できるか？
A. 単純に足すだけです。
$$30 + 20 = 50 \text{本}$$
【超重要ポイント】「独立」じゃなくても成り立つ！
ここが分散（バラつき）との最大の違いです。期待値の場合、2人の仲が良い（相乗効果がある）か悪い（足の引っ張り合いがある）かは関係ありません。
- 「4番が敬遠されたら5番が燃えて打つ」という関係があっても、
- 「4番が打つと5番は気が緩む」という関係があっても、
個々の平均がわかっていれば、合計の平均は必ず足し算で求められます。
2. 差の期待値 \(E[X – Y]\)
～単純な引き算でOK！～
ルール 差の期待値も同様に、それぞれの期待値を引いたものになります。
$$E[X – Y] = E[X] – E[Y]$$
野球での例：試合の得点差（勝てる見込み）
- 変数 \(X\)： 自チームの平均得点（期待値 \(E[X] = 4.5\)点）
- 変数 \(Y\)： 相手チームの平均得点（期待値 \(E[Y] = 3.2\)点）
Q. この試合、平均して何点差で勝つ（または負ける）ことが期待できるか？
A. 単純に引くだけです。
$$4.5 – 3.2 = +1.3 \text{点}$$
つまり、「平均して1.3点リードして終わるだろう」と予測できます。
3. 定数倍の公式 \(E[aX + b]\)
～おまけ：下駄を履かせたり、倍にしたり～
確率変数に決まった数（定数）を足したり掛けたりした場合も、期待値は素直に反応します。
$$E[aX + b] = a \times E[X] + b$$
野球での例：年俸の計算
ある選手の成績（\(X\)：ヒット数）に応じてボーナスが出るとします。
- 基本給：1000万円（定数 \(b\)）
- ヒット1本につき：10万円（係数 \(a\)）
- この選手の平均ヒット数（\(E[X]\)）：150本
Q. この選手の年俸の期待値は？
$$E[10X + 1000] = 10 \times 150 + 1000 = 2500 \text{万円}$$
3. 和の分散
「期待値（平均）」は単純な足し算ができましたが、「分散（バラつき）」はそう単純にはいかない、という点が最大のポイントです。
バラつきは、単純に足していい時と、ダメな時がある
あるタスクの「所要時間」を見積もるとします。
- 作業A： 平均1時間だが、調子の波があり、バラつき（リスク）がある。
- 作業B： 平均1時間だが、こちらも調子の波があり、バラつき（リスク）がある。
この2つの作業を合わせた「合計時間」のバラつきはどうなるでしょうか？
ここには「2つの作業の関係性」によって3つのパターンが生まれます。
- 無関係の場合（独立）： Aが長引こうが早く終わろうが、Bには関係ない場合。 このとき、合計のバラつきは、AのリスクとBのリスクを単純に足し合わせたものになります。
- 連動する場合（正の相関）： 「Aがトラブルで遅れると、その影響でBも調子を崩して遅れる」という場合。 悪いことが重なる（逆に良いことも重なる）ため、合計のバラつきは、単純な足し算よりも「もっと大きく」なります（大成功か大失敗か、極端になる）。
- 打ち消し合う場合（負の相関）： 「Aが遅れたら、Bが慌てて急いで取り戻す」という場合。 遅れをカバーし合うため、合計のバラつきは、単純な足し算よりも「小さく」なります（全体として安定する）。
つまり、和の分散とは「個々のバラつきの合計」に、「お互いの相乗効果（プラスかマイナスか）」を加えたものと言えます。
「共分散」という調整項
上記の言葉を、数学の記号に変換します。
- \(V[X]\)：変数Xの分散（バラつき）
- \(V[Y]\)：変数Yの分散（バラつき）
- \(\text{Cov}(X, Y)\)：共分散（お互いの関係性）
基本公式
$$V[X + Y] = V[X] + V[Y] + 2\text{Cov}(X, Y)$$
この式は、「2乗の展開公式」 \((x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy\) に非常によく似ています。
最後の \(2\text{Cov}(X, Y)\) という部分が、先ほど説明した「相乗効果」です。
ケース別の計算
- 独立している（無関係）場合：
関係がないので、共分散 \(\text{Cov}(X, Y) = 0\) になります。
$$V[X + Y] = V[X] + V[Y]$$
（ここで初めて単純な足し算になります）
- 正の相関がある（連動する）場合：
共分散がプラスなので、全体の分散は 足し算より大きくなります。
$$V[X + Y] > V[X] + V[Y]$$
- 負の相関がある（打ち消し合う）場合：
共分散がマイナスなので、全体の分散は 足し算より小さくなります。
$$V[X + Y] < V[X] + V[Y]$$
野球で説明する具体的な事例～1番打者と2番打者の「コンビのムラっ気」～
では、具体的に野球の「1・2番コンビ」で考えてみましょう。
監督として、「この2人のコンビは、試合ごとに得点力が安定しているか？ それともギャンブル的か？」（＝分散の大きさ）を知りたいとします。
- 1番打者 (\(X\))： 気分屋で、調子が良い日は打ちまくるが、悪い日はサッパリ。（分散 \(V[X] = 10\)）
- 2番打者 (\(Y\))： 同じく気分屋。（分散 \(V[Y] = 10\)）
単純に足すと \(10 + 10 = 20\) ですが、2人の関係性で結果が変わります。
ケース①：お互い我関せず（独立）
1番が出塁しようが凡退しようが、2番は自分のペースで打席に立つタイプ。
- 計算： \(10 + 10 = \mathbf{20}\)
- 解釈： チームとしての波の大きさは、2人の個性を単純に足した分だけになります。
ケース②：イケイケムード（正の相関）
1番がヒットを打つと、2番も「俺も！」と燃えて打ち出す。逆に1番が倒れると、2番もシュンとして凡退する。
（共分散 \(\text{Cov}(X, Y) = +5\) とします）
- 計算： \(10 + 10 + (2 \times 5) = 20 + 10 = \mathbf{30}\)
- 解釈： 「2人とも爆発」か「2人とも沈黙」のどちらかになりやすい。チームの得点力は0点か大量点か、極端に激しく変動（分散が増大）します。
ケース③：カバーし合う関係（負の相関）
1番が凡退すると、2番が「俺がなんとかしなきゃ」と集中して打つ。逆に1番が出ると、2番はバントなどで手堅くいく（自分のヒットは減る）。
（共分散 \(\text{Cov}(X, Y) = -5\) とします）
- 計算： \(10 + 10 + (2 \times -5) = 20 – 10 = \mathbf{10}\)
- 解釈： どちらかがダメでも片方が補うため、毎回そこそこの結果を残します。チームとしての結果は非常に安定（分散が減少）します。
4. 差の分散
不確実性の拡大～「違い」を予測するのは、もっと難しい～
まず、直感的なイメージから入りましょう。
あなたは、自分のチーム（\(X\)）と相手チーム（\(Y\)）の試合結果、つまり「点差（勝敗の行方）」を予測しようとしています。
- 自チーム (X)： 調子の波が激しい（分散がある）。
- 相手チーム (Y)： 相手も調子の波が激しい（分散がある）。
さて、「点差（\(X – Y\)）」の予測のしやすさ（バラつき）はどうなるでしょうか？
「引き算だから、バラつきも引かれて小さくなる（予測しやすくなる）？」
いいえ、逆です。
- 自チームが「絶好調」で、相手が「絶不調」なら、大差で勝ちます。
- 自チームが「絶不調」で、相手が「絶好調」なら、大差で負けます。
お互いに波があるせいで、点差の可能性は「大勝ち」から「大負け」まで、個々の波よりもさらに大きく広がってしまうのです。
つまり、変数を引き算しても、不確実性（リスク）は積み重なって増えていくのです。これが基本の感覚です。
数式による説明～符号の逆転トリック～
これを数式で確認してみましょう。
- \(V[X]\)：変数Xの分散
- \(V[Y]\)：変数Yの分散
- \(\text{Cov}(X, Y)\)：共分散
基本公式
$$V[X – Y] = V[X] \mathbf{+} V[Y] – 2\text{Cov}(X, Y)$$
【重要ポイント1：分散は足す】式の前半を見てください。\(X – Y\) の分散を求めているのに、右辺では \(V[X] + V[Y]\) と足し算になっています。（数学的には、\(-1\) を2乗すると \(+1\) になるため、マイナスの変数の分散もプラスとして加算されるからです）
【重要ポイント2：共分散は引く】式の後半は \(-2\text{Cov}(X, Y)\) となっています。和の分散のときと符号が逆です。これが「関係性」の影響を逆転させます。
野球の事例による説明～「点差」はいつ安定するのか？～
「自チームの得点 (\(X\))」引く「相手チームの得点 (\(Y\))」＝ 「点差」のバラつきについて、2チームの関係性ごとに見てみましょう。（それぞれの得点の分散は \(V[X]=10, V[Y]=10\) とします）
ケース①：無関係（独立）
普通の試合です。相手の調子は自分たちに関係ありません。
- 計算： \(10 + 10 = \mathbf{20}\)
- 解釈： 点差の変動幅は、お互いの調子の波を単純に足し合わせた分だけ大きくなります。
ケース②：一緒に動く（正の相関）
例：強風が吹いている球場。風に乗ってホームランが出やすい日は、自チームも打ちますが、相手チームも打ちます（両方増える）。風がない日は、両方打てません（両方減る）。
（共分散 \(\text{Cov} = +5\)）
- 計算： \(10 + 10 – (2 \times 5) = 20 – 10 = \mathbf{10}\)
- 解釈： ここが面白いところです！
- 「自分 10点 vs 相手 8点」（両方打った）
- 「自分 2点 vs 相手 0点」（両方打てない）
- どちらの展開でも、「点差」は2点差くらいで安定しています。
- 一緒に動く（正の相関）と、引き算した時の差のバラつきは小さくなるのです。
ケース③：逆に動く（負の相関）
例：シーソーゲームの心理戦。自チームが点取ると油断して守備が崩れる（相手が増える）。自チームが取れないと集中して守る（相手が減る）。あるいは、「エース対決」で片方が崩れるともう片方が勢いづく場合など。
（共分散 \(\text{Cov} = -5\)）
- 計算： \(10 + 10 – (2 \times -5) = 20 + 10 = \mathbf{30}\)
- 解釈：
- 「自分 10点 vs 相手 0点」
- 「自分 0点 vs 相手 10点」
- 逆方向に動くため、点差は「圧勝」か「惨敗」か、ものすごく激しく変動（分散が最大化）します。
まとめ
これまでの解説をまとめた「確率変数の和と差」の総まとめ表です。
特に「分散の引き算（差の分散）」が、「足し算」になる点にご注意ください。
確率変数の和と差 まとめ
| 項目 | 数式 (一般式) | 独立の場合 (Cov=0) | 意味・イメージ | 野球での具体例 |
| 和の期待値 \(E[X+Y]\) | \(E[X] + E[Y]\) | 同じ (\(E[X] + E[Y]\)) | 平均の合計 常に単純な足し算でOK。 | 「4番と5番の合計HR数」 仲が良くても悪くても、個人の平均を足せば求まる。 |
| 差の期待値 \(E[X-Y]\) | \(E[X] – E[Y]\) | 同じ (\(E[X] – E[Y]\)) | 平均の差 常に単純な引き算でOK。 | 「平均何点差で勝てるか」 自チームの平均得点から、相手の平均得点を引く。 |
| 和の分散 \(V[X+Y]\) | \(V[X] + V[Y]\) \(\mathbf{+\, 2\text{Cov}(X, Y)}\) | 単純な和 (\(V[X] + V[Y]\)) | 合計値のバラつき 正の相関なら波が荒くなり、負の相関なら安定する。 | 「コンビの好不調の波」 一緒に打つコンビ（正の相関）は、大量点か0点か極端になる。 |
| 差の分散 \(V[X-Y]\) | \(V[X] \mathbf{+\, V[Y]}\) \(\mathbf{-\, 2\text{Cov}(X, Y)}\) | 単純な和 (\(V[X] \mathbf{+\, V[Y]}\)) | 差のバラつき 引き算でもリスクは加算される（足し算）。 | 「点差の読めなさ」 お互い波が激しいチーム同士だと、点差の予測は非常に難しくなる。 |
最後のポイント
- 期待値 (\(E\)) は「素直」：相関関係を気にせず、足したり引いたりしてOK。
- 分散 (\(V\)) は「慎重」：
- 独立していても、リスクは必ず積み上がる（足し算になる）。
- 関係性がある場合（\(\text{Cov} \neq 0\)）は、補正項（\(2\text{Cov}\)）が必要になる。